Selasa, 26 Maret 2013

Pembuktian Rumus Heron


Rumus Heron
Rumus Heron adalah rumus yang dipakai untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya.
Misalkan diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c. Jika s menyatakan setengah keliling segitiga ABC, atau dikatakan s=½(a+b+c) maka luas segitiga tersebut bisa dinyatakan dengan
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Csqrt%7Bs%28s-a%29%28s-b%29%28s-c%29%7D

Rumus tersebut bisa dibuktikan sebagai berikut :
Cara pertama
misalkan terdapat sebuah segitiga ABC sebagai berikut  dengan alas segitiga adalah a, dan t adalah tinggi segitiga yang ditarik dari titik A
Description: http://olimpiadematematika.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-heron.jpg

Rumus pythagoras pada segitiga ADC adalah
x2 + t2 = b2 …………………………………………(1)
Rumus pythagoras pada segitiga ADB adalah
(a – x)2 + t2 = c2
a2 – 2ax + x2 + t2 = c2 …………………………..(2)
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh
a2 – 2ax + b2 = c2
2ax = a2 + b2 – c2
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20x=%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D
Dari persamaan (1) diperoleh
t2 = b2 – x2
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=b%5E%7B2%7D-%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=%5Cleft%20%28%20b+%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20b-%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29


Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B%28a+b%29%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bc%5E%7B2%7D-%28a-b%29%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B%28a+b+c%29%28a+b-c%29%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B%28c+a-b%29%28c-%28a-b%29%29%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=%5Cfrac%7B%28a+b+c%29%28a+b-c%29%28c+a-b%29%28c-a+b%29%7D%7B4a%5E%7B2%7D%7D
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%204a%5E%7B2%7Dt%5E%7B2%7D=%28a+b+c%29%28a+b-c%29%28c+a-b%29%28c-a+b%29
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%204a%5E%7B2%7Dt%5E%7B2%7D=%28a+b+c%29%28a+b+c-2c%29%28a+bc-2b%29%28a+b+c-2a%29
karena s=½(a+b+c) maka a + b + c = 2s
Jadi
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%204a%5E%7B2%7Dt%5E%7B2%7D=%282s%29%282s-2c%29%282s-2b%29%282s-2a%29

Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%204a%5E%7B2%7Dt%5E%7B2%7D=16s%28s-c%29%28s-b%29%28s-a%29
Jika kedua ruas diakarkan maka diperoleh
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%202at=4%5Csqrt%7Bs%28s-c%29%28s-b%29%28s-a%29%7D

sehingga

Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dat=2%5Csqrt%7Bs%28s-c%29%28s-b%29%28s-a%29%7D
Jadi luas segitiga adalah
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dat=2%5Csqrt%7Bs%28s-a%29%28s-b%29%28s-c%29%7D

Cara kedua
Menurut aturan cosinus :
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
2ab cos C = a2 + b2 – c2
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Ccos%20C=%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2ab%7D
Luas segitiga bisa dinyatakan sbb :
L = ½ab sin C
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B%5Csin%20%5E%7B2%7DC%7D
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B1-%5Ccos%20%5E%7B2%7DC%7D
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B%281+%5Ccos%20C%29%281-%5Ccos%20C%29%7D


Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28a%5E%7B2%7D+2ab+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%29%28c%5E%7B2%7D-%28a%5E%7B2%7D-2ab+b%5E%7B2%7D%29%29%7D%7B4a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%7D%7D
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab.%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%28%28a+b%29%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%29%28c%5E%7B2%7D-%28a-b%29%5E%7B2%7D%29%7D%7D%7B2ab%7D
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B%28a+b+c%29%28a+b-c%29%28c+a-b%29%28c-%28a-b%29%29%7D

Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B%28a+b+c%29%28a+b+c-2c%29%28a+b+c-2b%29%28a+b+c-2a%29%7D
dengan mengganti a+b+c=2s maka diperoleh
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B2s%282s-2c%29%282s-2b%29%282s-2a%29%7D

Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B16s%28s-c%29%28s-b%29%28s-a%29%7D
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D.4%5Csqrt%7Bs%28s-c%29%28s-b%29%28s-a%29%7D
Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Csqrt%7Bs%28s-a%29%28s-b%29%28s-c%29%7D

Kamis, 14 Maret 2013

Garis Singgung pada Lingkaran (18 - 23 Maret 2013)

PANJANG GARIS SINGGUNG SEBUAH LINGKARAN

1.     Pada gambar di bawah ini, AB dan AC garis singgung lingkaran dengan pusat O. Panjang AO = 51 cm dan jari-jari OB = 24 cm. Luas layang-layang OBAC adalah . . .
a.  540 cm2
b. 612 cm2
c. 1.080 cm2
d. 1.224 cm2

2.    Pada gambar di bawah ini, panjang jari-jari OA = 16 cm dan panjang garis singgung
PA = 30 cm. Jarak OP . . .

a.    16 cm
b.    22 cm
c.    25 cm
d.    34 cm

3.    Pada gambar di bawah ini, PA dan PB garis singgung lingkaran dengan pusat O. Panjang OP = 50 cm dan PA = 40 cm. Panjang tali busur AB adalah . . .

a.    12 cm
b.    18, 75 cm
c.    24 cm
d.    20 cm

Esay
4.    Pada gambar di bawah ini, AB dan AC merupakan garis singgung lingkaran dengan pusat O. Panjang AB = 24 cm dan OA = 30 cm. 

Hitunglah:
a.   Panjang jari-jari OB
b.  Luas OAB
c.   Luas layang-layang
5.    Diketahui panjang OR = 9 cm dan QR = 40 cm. Tentukan:
a.    Panjang OQ
b.    Panjang PR
c.    Luas OPQR