Rani Soul Math: Maret 2013

Rumus Heron

January 1, 2013

Rumus Heron adalah rumus yang dipakai untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya.

Misalkan diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c. Jika s menyatakan setengah keliling segitiga ABC, atau dikatakan s=½(a+b+c) maka luas segitiga tersebut bisa dinyatakan dengan

Rumus tersebut bisa dibuktikan sebagai berikut :

Cara pertama

misalkan terdapat sebuah segitiga ABC sebagai berikut dengan alas segitiga adalah a, dan t adalah tinggi segitiga yang ditarik dari titik A

Description: http://olimpiadematematika.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-heron.jpg

Rumus pythagoras pada segitiga ADC adalah

x² + t² = b²…………………………………………(1)

Rumus pythagoras pada segitiga ADB adalah

(a – x)² + t² = c²

a² – 2ax + x² + t² = c² …………………………..(2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh

a² – 2ax + b² = c²

2ax = a² + b² – c²

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20x=%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D$

Dari persamaan (1) diperoleh

t² = b² – x²

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=b%5E%7B2%7D-%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=%5Cleft%20%28%20b+%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20b-%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B%28a+b%29%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bc%5E%7B2%7D-%28a-b%29%5E%7B2%7D%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B%28a+b+c%29%28a+b-c%29%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B%28c+a-b%29%28c-%28a-b%29%29%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20t%5E%7B2%7D=%5Cfrac%7B%28a+b+c%29%28a+b-c%29%28c+a-b%29%28c-a+b%29%7D%7B4a%5E%7B2%7D%7D$

karena s=½(a+b+c) maka a + b + c = 2s

Jadi

Jika kedua ruas diakarkan maka diperoleh

sehingga

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dat=2%5Csqrt%7Bs%28s-c%29%28s-b%29%28s-a%29%7D$

Jadi luas segitiga adalah

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dat=2%5Csqrt%7Bs%28s-a%29%28s-b%29%28s-c%29%7D$

Cara kedua

Menurut aturan cosinus :

c² = a² + b² – 2ab cos C

2ab cos C = a2 + b2 – c2

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Ccos%20C=%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B2ab%7D$

Luas segitiga bisa dinyatakan sbb :

L = ½ab sin C

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B%5Csin%20%5E%7B2%7DC%7D$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B1-%5Ccos%20%5E%7B2%7DC%7D$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B%281+%5Ccos%20C%29%281-%5Ccos%20C%29%7D$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28a%5E%7B2%7D+2ab+b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%29%28c%5E%7B2%7D-%28a%5E%7B2%7D-2ab+b%5E%7B2%7D%29%29%7D%7B4a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%7D%7D$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab.%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%28%28a+b%29%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%29%28c%5E%7B2%7D-%28a-b%29%5E%7B2%7D%29%7D%7D%7B2ab%7D$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B%28a+b+c%29%28a+b-c%29%28c+a-b%29%28c-%28a-b%29%29%7D$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B%28a+b+c%29%28a+b+c-2c%29%28a+b+c-2b%29%28a+b+c-2a%29%7D$

dengan mengganti a+b+c=2s maka diperoleh